Vii kõik ühele poole: f(x) > 0 (või ≥ 0, < 0, ≤ 0)
Tegurda lugeja ja nimetaja — leia kriitilised punktid (nullid)
Märgi kriitilised punktid arvteljele — nad jagavad telje intervallideks
Uuri märki igas intervallis (asenda testpunkt)
Vali nõutava märgiga intervallid; kontrolli, kas piirid kuuluvad lahendusse
⚠ Ratsionaalsel võratusel: nimetaja nullkohad ei kuulu kunagi lahendusse (jaga nulliga on keelatud)!
d) −x(1−x)³(x²−1)(x+1) < 0
Tegurda: x²−1 = (x−1)(x+1)
→ −x(1−x)³(x−1)(x+1)(x+1) < 0
→ −x · (−1)³(x−1)³ · (x−1)(x+1)² < 0
Sest (1−x) = −(x−1):
→ −x · (−1)³(x−1)³ · (x−1)(x+1)² < 0
= −x · (−1)(x−1)³ · (x−1)(x+1)² < 0
= x(x−1)⁴(x+1)² < 0
(x−1)⁴ ≥ 0 alati; (x+1)² ≥ 0 alati
→ Märk sõltub x-st:
x < 0: lahend on x < 0, x ≠ −1, x ≠ 1
x ∈ (−∞; 0) \ {−1}
e) (x+1)²(x−4) / (x+8) ≥ 0
Kriitilised punktid: x = −1, x = 4, x = −8
(x+1)² ≥ 0 alati → märki muutab ainult (x−4) ja (x+8)
Intervallide analüüs:
x < −8 : (−)(−) / (−) = − < 0 ✗
−8 < x < −1: (−)(−) / (+) = + > 0 ✓
x = −1: 0 / (pos) = 0 ≥ 0 ✓
−1 < x < 4: (−)(+) → negatiivseks... tegelikult (+)(−)/(+) = − < 0 ✗
x = 4: pos · 0 / pos = 0 ≥ 0 ✓
x > 4: (+)(+)/(+) = + > 0 ✓
x ∈ (−8; −1] ∪ [4; +∞)
5
Absoluutväärtuse võratus
Põhivalemid
|f(x)| < a (a > 0)
−a < f(x) < a
Lahend on vahemik keskel
|f(x)| > a (a > 0)
f(x) < −a VÕI f(x) > a
Lahend on kaks eraldi poolt
|f(x)| = |g(x)|
f(x) = g(x) VÕI f(x) = −g(x)
Kaks võrrandit
|f(x)| ≥ 2x + 6
f(x) ≥ 2x+6 VÕI f(x) ≤ −(2x+6)
Kahe haru ühend
f) |5 − x| = |x + 4|
Juht 1: 5 − x = x + 4 → 1 = 2x → x = ½
Juht 2: 5 − x = −(x + 4) → 5 − x = −x − 4 → 5 = −4 (võimatu!)
x = ½
h) |x + 4| ≥ 2x + 6
Juht 1: x + 4 ≥ 2x + 6 (kehtib, kui x + 4 ≥ 0, st x ≥ −4)
→ −2 ≥ x ja x ≥ −4
→ −4 ≤ x ≤ −2
Juht 2: −(x + 4) ≥ 2x + 6 (kehtib, kui x + 4 < 0, st x < −4)
→ −x − 4 ≥ 2x + 6 → −10 ≥ 3x → x ≤ −10/3 ≈ −3,33
Kombineerides x < −4 ja x ≤ −10/3 → x < −4
x ∈ (−∞; −4) ∪ [−4; −2] = (−∞; −2]
6
Võrratussüsteemid
Definitsioon
Võrratussüsteemi lahend on kõigi tingimuste üheaegne täitumine — lõikumiskomplekt.
Lahendamine
Lahenda iga võratus eraldi
Kujuta mõlemad lahendid arvteljel
Leia ühisosa (lõikumine)
Ülesanne 2:
{ (6−x)(x+3) ≥ 0
{ x² − 5x + 6 ≤ 0
Esimene: (6−x)(x+3) ≥ 0
Nullid: x = 6 ja x = −3
(−)(−) positiivne väljaspool, positiivne vahel? Proovi x=0: (6)(3)=18>0 ✓
→ x ∈ [−3; 6]
Teine: x² − 5x + 6 ≤ 0
D = 25 − 24 = 1; x₁ = 2, x₂ = 3
a = 1 > 0, parabool haru üles → ≤ 0 nullide vahel
→ x ∈ [2; 3]
Ühisosa: [−3; 6] ∩ [2; 3] = [2; 3]
Suurim täisarvuline lahend: x = 3
Suurim täisarv: x = 3
7
Graafiline meetod
Millal kasutada?
Kui on antud kaks funktsiooni ja küsitakse, milliste x väärtuste korral üks on suurem teisest.
Meetod
Joonista mõlema funktsiooni graafik
Leia lõikepunktid (seadistuskohtades on f(x) = g(x))
Vaata, kumma graafik asub ülemal, millises intervallis
Kirjuta vastus intervallidena
Ülesanne 3: Milliste x väärtuste korral x² − 2x − 1 > −x + 1 ?
Leia lõikepunktid: x² − 2x − 1 = −x + 1
x² − x − 2 = 0
(x − 2)(x + 1) = 0
x₁ = −1, x₂ = 2 → lõikepunktid (−1; 2) ja (2; −1... eik, (2; ?)
Kontrolli: x=2: −x+1 = −1 ja x²−2x−1 = 4−4−1 = −1 ✓
Paraabol on sirgest KÕRGEMAL väljapool lõikepunkte:
Arvtelg: parabool > sirge, kui x < −1 või x > 2
x ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞)
Märkus: Mõnel juhul lubab ülesanne lugeda vastuse otse graafikult — vaata, kus parabool on sirgest kõrgemal (ülemal).
8
Ratsionaalne võratus: vii kõigepealt ühele poole!
⚠ Kõige levinum viga ratsionaalsetel võratusel: Korrutada mõlemat poolt (x+1)-ga ilma märki muutmata — aga me ei tea, kas (x+1) on positiivne või negatiivne! Selle asemel: vii kõik ühele poole nullist.
Õige meetod
Vii kõik vasemale poole: f(x)/g(x) − c > 0 kujule
Vii ühise nimetaja alla üheks murruga
Rakenda intervallide meetodit lugejale ja nimetajale
g) (2x+1)/(x+1) > −2
Samm 1: Vii kõik ühele poole
(2x+1)/(x+1) + 2 > 0
Samm 2: Ühine nimetaja
(2x+1)/(x+1) + 2(x+1)/(x+1) > 0
(2x+1 + 2x+2) / (x+1) > 0
(4x+3) / (x+1) > 0
Samm 3: Kriitilised punktid
Lugeja null: 4x+3 = 0 → x = −¾
Nimetaja null: x+1 = 0 → x = −1 (EI kuulu lahendusse!)
Samm 4: Märgiskeem (vt allpool)
Tegur
x < −1
x = −1
−1 < x < −¾
x = −¾
x > −¾
(4x+3)
−
−
−
0
+
(x+1)
−
0
+
+
+
Murru märk
+ ✓
∄
− ✗
0 ✗
+ ✓
x ∈ (−∞; −1) ∪ (−¾; +∞)
x = −1 ei kuulu, sest nimetaja = 0 (jagamine nulliga on keelatud!) x = −¾ ei kuulu, sest tingimus on range > (mitte ≥)
9
Märgiskeem — universaalne visuaalne meetod
Märgiskeemi koostamine samm-sammult
Kirjuta kõik tegurid eraldi ridadena tabelisse
Märgi iga teguri nullkohad arvteljele (veerud tabelis)
Täida iga teguri märk igas intervallis (+ või −)
Korruta märgid ridade kaupa — saad koguavaldise märgi
Vali nõutava märgiga intervallid; kontrolli piirpunktide kuulumist
Kasulikud märgireegud
Tegur
Käitumine nullkohas
Märki muutub?
(x − a)¹
null, astme 1
Jah — märk pöördub
(x − a)²
null, astme 2
Ei — jääb samaks (ruut ≥ 0)
(x − a)³
null, astme 3
Jah — märk pöördub (paaritu aste)
(x − a)ⁿ, n paaris
null
Ei — märk ei muutu
(x − a)ⁿ, n paaritu
null
Jah — märk pöördub
Näide täielikust märgiskeemist: (x+1)²(x−4)/(x+8) ≥ 0
Tegur
x < −8
x=−8
−8<x<−1
x=−1
−1<x<4
x=4
x > 4
(x+1)²
+
+
+
0
+
+
+
(x−4)
−
−
−
−
−
0
+
(x+8)
−
0
+
+
+
+
+
Kogu märk
− ✗
∄
+ ✓
0 ✓
− ✗
0 ✓
+ ✓
x ∈ (−8; −1] ∪ [4; +∞)
10
Parameetriga võrratused
Mis on parameeter?
Parameeter on teine täht (tavaliselt a, k või m), mida käsitletakse konstandina. Ülesandes küsitakse: "milliste parameetri väärtuste korral kehtib tingimus?"
Lahendamise skeem
Lahenda võratus x suhtes nii nagu tavaliselt
Jaga juhtumiteks parameetri väärtuste järgi (nt a > 0, a = 0, a < 0)
Iga juhtumi korral kirjuta vastus eraldi
Näide: Lahenda võratus ax > 3 parameetri a suhtes
Juhtum 1: a > 0
x > 3/a
Juhtum 2: a = 0
0 > 3 — see on alati vale!
→ lahend puudub
Juhtum 3: a < 0
Jagame negatiivse arvuga → märk pöördub!
x < 3/a
Tingimus
Lahend
a > 0
x ∈ (3/a; +∞)
a = 0
lahend puudub
a < 0
x ∈ (−∞; 3/a)
Raskem näide: Leia a väärtused, mille korral x² − 2ax + a² − 1 < 0 on lahenditega
See on ruutvõratus kujul x² − 2ax + (a²−1) < 0
Ruutvõratus on lahenditega ⟺ D > 0 (paraboolil on kaks reaalset nullkohta)
D = (2a)² − 4·1·(a²−1)
= 4a² − 4a² + 4
= 4 > 0
D = 4 > 0 alati, sõltumata a väärtusest!
Kõikide a ∈ ℝ korral on võratusel lahendid.
11
Harjutusülesanded
Lahenda iseseisvalt
Proovi esmalt ise lahendada, seejärel kontrolli vastu!