🔑 Põhivalemid
Crameri reegel
x = Dₓ / D y = D_y / D z = D_z / D
3×3 determinant – Sarrus' reegel (õpetaja meetod)
|a b c|
|d e f| = aei − afh − bdi + bfg + cdh − ceg
|g h i|
✏️
Kuidas meeles pidada? Diagonaalide trikk!
Kirjuta maatriks välja ja joonista 6 diagonaali:
➕ Kolm positiivset: vasakult paremale nurgast nurka
➖ Kolm negatiivset: paremalt vasakule nurgast nurka
POSITIIVSED (+) diagonaalid:
① a·e·i → vasak ülanurk → parem alanurk
② b·f·g → keskmine → parem alanurk → vasak
③ c·d·h → parem ülanurk → vasak → kesk
NEGATIIVSED (−) diagonaalid:
④ −a·f·h → vasak ülanurk → parem → kesk
⑤ −b·d·i → kesk → vasak → parem alanurk
⑥ −c·e·g → parem ülanurk → kesk → vasak alanurk
🧩
Kuidas asendada? Dₓ – asenda x-i veerus olevad arvud vabaüksustega (paremad pooled). D_y – asenda y-i veerus. D_z – asenda z-i veerus.
{ 3x + y + z = 8
{ x − 2y + 2z = −6
{ x + y − z = 6
Peadeterminant D:
| 3 1 1 |
| 1 −2 2 | → a=3, b=1, c=1, d=1, e=−2, f=2, g=1, h=1, i=−1
| 1 1 −1 |
D = aei − afh − bdi + bfg + cdh − ceg
① +aei = +3·(−2)·(−1) = +6
② −afh = −3·2·1 = −6
③ −bdi = −1·1·(−1) = +1
④ +bfg = +1·2·1 = +2
⑤ +cdh = +1·1·1 = +1
⑥ −ceg = −1·(−2)·1 = +2
D = 6 − 6 + 1 + 2 + 1 + 2 = 6
Dₓ (asenda 1. veerg vabaüksustega 8, −6, 6):
| 8 1 1 |
|−6 −2 2 | → a=8, b=1, c=1, d=−6, e=−2, f=2, g=6, h=1, i=−1
| 6 1 −1 |
① +8·(−2)·(−1) = +16
② −8·2·1 = −16
③ −1·(−6)·(−1)= −6
④ +1·2·6 = +12
⑤ +1·(−6)·1 = −6
⑥ −1·(−2)·6 = +12
Dₓ = 16 − 16 − 6 + 12 − 6 + 12 = 12
D_y (asenda 2. veerg vabaüksustega):
| 3 8 1 |
| 1 −6 2 | → a=3, b=8, c=1, d=1, e=−6, f=2, g=1, h=6, i=−1
| 1 6 −1 |
① +3·(−6)·(−1) = +18
② −3·2·6 = −36
③ −8·1·(−1) = +8
④ +8·2·1 = +16
⑤ +1·1·6 = +6
⑥ −1·(−6)·1 = +6
D_y = 18 − 36 + 8 + 16 + 6 + 6 = 18
D_z (asenda 3. veerg vabaüksustega):
| 3 1 8 |
| 1 −2 −6 | → a=3, b=1, c=8, d=1, e=−2, f=−6, g=1, h=1, i=6
| 1 1 6 |
① +3·(−2)·6 = −36
② −3·(−6)·1 = +18
③ −1·1·6 = −6
④ +1·(−6)·1 = −6
⑤ +8·1·1 = +8
⑥ −8·(−2)·1 = +16
D_z = −36 + 18 − 6 − 6 + 8 + 16 = −6
✅
Lõppvastused Crameri reeglist:
x = Dₓ/D = 12/6 = 2
y = D_y/D = 18/6 = 3
z = D_z/D = −6/6 = −1
🔍
Kontroll (asenda x=2, y=3, z=−1 kõikidesse võrranditesse):
I: 3·2 + 3 + (−1) = 6+3−1 = 8 ✓
II: 2 − 2·3 + 2·(−1) = 2−6−2 = −6 ✓
III: 2 + 3 − (−1) = 2+3+1 = 6 ✓
x = 2 | y = 3 | z = −1
🚗 Ülesanne 3 – täielik lahenduskäik
"Tartust Tallinna on ligikaudu 180 km. Ühel ajal startisid Tartust sõiduauto ja buss. Sõiduauto keskmine kiirus oli 5 km/h suurem kui bussil ning sõiduauto jõudis Tallinna 9 minutit varem kui buss. Kui suure keskmise kiirusega liikus kumbki sõiduk?"
Tundmatute nimetamine:
Oletame, et bussi kiirus on v km/h ja auto kiirus on v + 5 km/h.
1. võrrand – kiiruste vahe:
Põhjendus: auto kiirus on 5 km/h suurem kui bussi kiirus, seega:
auto kiirus = v + 5 (I) ← see on juba sees tundmatu nimetuses
2. võrrand – ajavahe:
Põhjendus: aeg = teekond ÷ kiirus.
Bussi sõiduaeg = 180/v tundi
Auto sõiduaeg = 180/(v+5) tundi
Kuna auto jõuab 9 minutit = 9/60 = 3/20 tundi varem, siis:
180/v − 180/(v+5) = 3/20 (II)
Lahendamine – korrutame (II) läbi 20·v·(v+5):
20·180·(v+5) − 20·180·v = 3·v·(v+5)
3 600(v+5) − 3 600v = 3v² + 15v
3 600v + 18 000 − 3 600v = 3v² + 15v
18 000 = 3v² + 15v
Jagame 3-ga:
v² + 5v − 6 000 = 0
Lahutame: otsime arve, mille korrutis on −6 000 ja summa on +5:
80 · (−75) = −6 000 ✓ ja 80 + (−75) = 5 ✓
(v + 80)(v − 75) = 0
v = 75 või v = −80 ← ei sobi, kiirus ei saa olla negatiivne
Seega:
Bussi kiirus = v = 75 km/h
Auto kiirus = v + 5 = 80 km/h
🔍
Kontroll:
80 − 75 = 5 km/h ✓ (auto on 5 km/h kiirem)
180/75 = 2,4 h = 144 min | 180/80 = 2,25 h = 135 min
144 − 135 = 9 min ✓
Vastus: bussi kiirus on 75 km/h ja auto kiirus on 80 km/h.
👩🌾 Ülesanne 4 – täielik lahenduskäik
"Kaks naist rohiksid põllu koos töötades ära 6 tunniga. Sama põllu rohimiseks üksi kuluks esimesel töölisel 5 tundi rohkem kui teisel töölisel. Mitu tundi kuluks põllu rohimiseks kummalgi töölisel üksi töötades?"
Tundmatute nimetamine:
Oletame, et teise töölisel kulub põllu rohimiseks üksi T tundi
ja esimesel töölisel kulub selleks T + 5 tundi.
1. võrrand – ühine töö:
Põhjendus: ühe tunniga teeb teine töölinel 1/T osa tööst
ja esimene töölinen 1/(T+5) osa tööst.
Kuna koos tehakse kogu töö 6 tunniga, siis 6 tunniga tehakse 1 töö:
6 · (1/T + 1/(T+5)) = 1 (I)
ehk lihtsustades:
1/T + 1/(T+5) = 1/6 (I)
Lahendamine – korrutame läbi 6T(T+5):
6(T+5) + 6T = T(T+5)
6T + 30 + 6T = T² + 5T
12T + 30 = T² + 5T
T² − 7T − 30 = 0
Diskriminant: D = 7² + 4·30 = 49 + 120 = 169
√D = 13
T = (7 + 13) / 2 = 20 / 2 = 10 (tundi)
T = (7 − 13) / 2 = −3 ← ei sobi, aeg ei saa olla negatiivne
Seega teine töölinen: T = 10 tundi
Esimene töölinen: T + 5 = 15 tundi
🔍
Kontroll:
1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 5/30 = 1/6 → koos 6 tundi ✓
15 − 10 = 5 tundi vahe ✓
Vastus: esimesel töölisel kulub 15 tundi ja teisel töölisel 10 tundi.
🔢 Ülesanne 5 – täielik lahenduskäik
"Kahekohalise arvu ristsumma on 10. Kui selles arvus numbrid vahetada, siis saame arvu, mis on esialgsest arvust 54 võrra suurem. Leia esialgne arv."
Tundmatute nimetamine:
Oletame, et otsitava arvu kümnete number on a ja ühtede number on b.
Siis esialgne arv = 10a + b (nt arv 37: a=3, b=7, arv = 10·3+7 = 37)
Numbrite vahetamisel saadud arv = 10b + a
1. võrrand – ristsumma:
Põhjendus: ristsumma tähendab numbrite summat, mis on 10, seega:
a + b = 10 (I)
2. võrrand – pööratud arv on 54 võrra suurem:
Põhjendus: pööratud arv ületab esialgset arvu 54 võrra, seega:
10b + a = (10a + b) + 54
Viime kõik ühele poole:
10b + a − 10a − b = 54
9b − 9a = 54 | jagame 9-ga
b − a = 6 (II)
Süsteem:
{ a + b = 10 (I)
{ b − a = 6 (II)
Liitmismeetod – liidame (I) ja (II):
(a + b) + (b − a) = 10 + 6
2b = 16
b = 8
Asendame b = 8 võrrandisse (I):
a + 8 = 10
a = 2
🔍
Kontroll:
Esialgne arv = 10·2 + 8 = 28
Ristsumma: 2 + 8 = 10 ✓
Pööratud arv: 82 | 82 − 28 = 54 ✓
Vastus: otsitav kahekohaline arv on 28.