Kodutöö VIII

Trigonomeetria II

Liitmisvalemid · Siinusteoreem · Koosinusteoreem · Heroni valem · Rakendusülesanded

1
Liitmisvalemid — sin ja cos

📐 Neli põhivalemit — pea neid!

sin summa
sin(α+β) =
sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin vahe
sin(α−β) =
sinα·cosβ − cosα·sinβ
cos summa
cos(α+β) =
cosα·cosβ − sinα·sinβ
cos vahe
cos(α−β) =
cosα·cosβ + sinα·sinβ
⚠️
Tähelepanu! sin-il ja cos-il on märgid vastupidi:
sin(α+β): summa → liitmärk  |  cos(α+β): summa → miinusmärk

💡 Kuidas lihtsustada? — Üldine mõtteviis

1.
Otsi mustrit — kas avaldis meenutab mõnda liitmisvalemit? Vaata sinα·cosβ + cosα·sinβ tüüpi osi.
2.
Tuvasta α ja β — mis on esimene nurk, mis on teine nurk?
3.
Asenda valemiga — kirjuta sin(α+β) või cos(α−β) jne.
4.
Arvuta väärtus — kui tulemus on täppisnurk (0°, 30°, 45°, 60°, 90°), arvuta täpselt.
📝 Näidislahendus — Ülesanne 1.1: sin 30°·cos 60° + cos 30°·sin 60°
Samm 1
sin 30°·cos 60° + cos 30°·sin 60°
Märkan mustrit: sinα·cosβ + cosα·sinβ — see on sin(α+β) valem
Samm 2
α = 30°, β = 60°
Tuvastan nurgad
Samm 3
= sin(30° + 60°) = sin 90°
Rakendan liitmisvalemit
Vastus
= 1
sin 90° = 1 (täppisväärtus)

🔢 Keerukamate ülesannete tüübid (1.9–1.12)

Ülesanne 1.9: [sin(x−y) + 2cos x·sin y] / [2cos x·cos y − cos(x−y)]
Trikk
sin(x−y) = sin x·cos y − cos x·sin y
Avan vahe valemi lugeja ja nimetaja jaoks eraldi
Lugeja
(sin x·cos y − cos x·sin y) + 2cos x·sin y
= sin x·cos y + cos x·sin y
= sin(x+y)
Nimetaja
2cos x·cos y − (cos x·cos y + sin x·sin y)
= cos x·cos y − sin x·sin y
= cos(x+y)
Vastus
sin(x+y) / cos(x+y) = tan(x+y)
💡
Murdavaldistel: ava alati liitmisvalemid lugejal ja nimetajal eraldi, siis vaata, kas saad kokku koondada.
2
Kahekordsete nurkade valemid (osa 2 ülesanded)

📐 Valemid

sin kahekordne
sin 2α = 2 sin α · cos α
cos kahekordne
cos 2α = cos²α − sin²α
= 1 − 2sin²α
= 2cos²α − 1
tan kahekordne
tan 2α = 2tanα / (1−tan²α)
põhiidentiteet
sin²α + cos²α = 1
Ülesanne 2.5: 4 tan 30° / (1 − tan²30°) − tan 60°
Märkan
4tanα / (1−tan²α) = 2 · [2tanα / (1−tan²α)] = 2 tan 2α
α = 30°, seega 2tan 2·30° = 2 tan 60°
Asendus
= 2 tan 60° − tan 60° = tan 60° = √3
Ülesanne 2.6: cos⁴x − sin⁴x
Trikk
Faktoriseeri: a⁴ − b⁴ = (a²+b²)(a²−b²)
Lahendus
(cos²x + sin²x)(cos²x − sin²x)
= 1 · cos 2x = cos 2x
Kuna sin²x + cos²x = 1 ja cos²x − sin²x = cos 2x
3
Siinusteoreem — kaldkolmnurgad
📏 Siinusteoreem
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

kus a, b, c on küljed ja A, B, C on neile vastavad nurgad. R on ümberringjoonelise raadius.

📋 Millal kasutada?

Teadaolevad suurusedOtsitav
Kaks nurka + üks külgMõni teine külg
Kaks külge + üks vastasnurkTeine vastasnurk
✍️ Täielik lahenduskäik — Ülesanne 3: Pisa torni kaldenurk
Antud
AC = 56,7 m (torni pikkus), AB = 38 m (baas maapinnal), ∠ACB = 60°
Otsin
Kaldenurk ∠CAB = ?
Valem
AB / sin C = AC / sin B
Rakendan siinusteoreemi kolmnurgale ABC
Asendus
38 / sin 60° = 56,7 / sin B
Asendame teadaolevad väärtused
Arvutan
sin B = 56,7 · sin 60° / 38 = 56,7 · 0,866 / 38 ≈ 1,292
Kuna sin B > 1, siis... kontrollin ülesande andmeid uuesti
Nurk C
∠A = 180° − ∠B − 60°
Leiame ülejäänud nurga kolmnurga nurgade summast
Vastus kirjuta nii:
Pisa torni kaldenurk on ≈ __ °.
💬 Fraasipank — siinusteoreem
→
„Kuna teada on kaks nurka ja üks külg, rakendan siinusteoreemi."
→
„Leian tundmatu külje/nurga proportsioonist: a / sin A = b / sin B"
→
„Kolmas nurk: C = 180° − A − B (kolmnurga nurgade summa on 180°)"
→
„Asendame saadud väärtuse ja arvutame..."
→
„Vastus: [mida otsisime] ≈ __ [ühik]"
4
Koosinusteoreem — kaugused ja nurgad
📐 Koosinusteoreem
c² = a² + b² − 2ab · cos C

Kasutatav kui teada: kaks külge + nendevaheline nurk VÕI kõik kolm külge (nurga leidmiseks).

✍️ Täielik lahenduskäik — Ülesanne 6: Tallinn–Peterburi–Moskva
Antud
TP = 320 km, PM = 610 km, kurssimuutus = 47°
Otsin
Otselend TM = ?
Nurk P
∠TPM = 180° − 47° = 133°
Lennuk pöördus 47° võrra, seega sisemisnurk kolmnurgas on 180° − 47°
Valem
TM² = TP² + PM² − 2·TP·PM·cos(∠TPM)
Rakendan koosinusteoreemi kolmnurgale TPM
Asendus
TM² = 320² + 610² − 2·320·610·cos 133°
Asendame teadaolevad väärtused
Arvutan
= 102 400 + 372 100 − 390 400·(−0,6820)
= 474 500 + 266 293 ≈ 740 793
Vastus
TM = √740 793 ≈ 860 km
Vastus kirjuta nii:
Otselend Tallinn–Moskva oleks olnud ≈ 860 km.
💬 Fraasipank — koosinusteoreem
→
„Kuna teada on kaks külge ja nendevaheline nurk, rakendan koosinusteoreemi."
→
„Sisemine nurk kolmnurgas: ∠P = 180° − [pöördenurk]"
→
„Rakendan valemit: c² = a² + b² − 2ab·cos C"
→
„Asendame ja arvutame: c = √(...) ≈ __ km"
5
Heroni valem + pindala — Ülesanne 8
📐 Pindala valemid
Üldine (nurga kaudu)
S = ½ · a · b · sin C
Heroni valem (ainult küljed)
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))
p = (a+b+c)/2
✍️ Täielik lahenduskäik — Ülesanne 8: Nelinurkne maatükk
Antud
Küljed: 200 m, 280 m, 400 m, 380 m; nurk = 118°
Plaan
Lõikan nelinurga diagonaaliga kaheks kolmnurgaks.
Kolmnurk 1: küljed 200 m, 280 m, nurk 118° nende vahel
S₁ valem
S₁ = ½ · 200 · 280 · sin 118°
Koosinusteoreem annab diagonaali pikkuse, seejärel Heron kolmnurkale 2
Diagonaal
d² = 200² + 280² − 2·200·280·cos 118°
= 40 000 + 78 400 + 52 626 ≈ 171 026
d ≈ 413,6 m
S₁
S₁ = ½ · 200 · 280 · sin 118° ≈ ½ · 200 · 280 · 0,8829 ≈ 24 721 m²
S₂ Heron
Kolmnurk 2: a=413,6, b=400, c=380
p = (413,6+400+380)/2 ≈ 596,8
S₂ = √(596,8·183,2·196,8·216,8) ≈ 75 680 m²
Kokku
S = S₁ + S₂ ≈ 24 721 + 75 680 ≈ 100 401 m² ≈ 10,04 ha
Hind
10,04 ha · 3000 €/ha ≈ 30 120 €
Vastus: Maatükk maksab ligikaudu ≈ 30 000 €.
💬 Fraasipank — pindalaülesanded
→
„Lõikan nelinurga diagonaaliga kaheks kolmnurgaks."
→
„Leian diagonaali koosinusteoreemi abil."
→
„Esimese kolmnurga pindala: S₁ = ½ab·sin C"
→
„Teise kolmnurga pindala Heroni valemiga: p = (a+b+c)/2, S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))"
→
„Kogu pindala: S = S₁ + S₂"
→
„Hektarites: 1 ha = 10 000 m²"
6
Kiire meelespea
OlukordTeoreem/valemValem
sinα·cosβ ± cosα·sinβ Liitmisvalem sin = sin(α±β)
cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ Liitmisvalem cos = cos(α±β)
2 külge + vaheline nurk → kolmas külg Koosinusteoreem c²=a²+b²−2ab·cosC
2 nurka + 1 külg → teine külg Siinusteoreem a/sinA = b/sinB
Kolmnurga pindala (nurga kaudu) Pindala valem S = ½ab·sinC
Kolmnurga pindala (ainult küljed) Heroni valem S=√(p(p−a)(p−b)(p−c))
cos⁴x − sin⁴x tüüp Faktoriseeri + kahe ruudu vahe = cos 2x