📐 Kodutöö VII · Trigonomeetria
Trigonomeetria
Täielik Juhend
Taanduvalemid · Kraadid & radiaanid · Kaare pikkus · Sektori pindala · Põhiidentiteedid
🧭
Trigonomeetriliste funktsioonide märgid veerandites
⟨ 1 ⟩ Koordinaattasandi veerandid ja märgid
I veerand
0° – 90°
sin + cos + tan +
II veerand
90° – 180°
sin + cos − tan −
III veerand
180° – 270°
sin − cos − tan +
IV veerand
270° – 360°
sin − cos + tan −
💡
Meeldejätmiseks: "Kõik Sõidavad Teed Käies" → I: kõik +, II: sin+, III: tan+, IV: cos+
🔄
Teisenda teravnurkadeks (Ülesanne 1)
⟨ 2 ⟩ Reeglid
1
Leia, mitmendas veerandis nurk asub (0°–90°, 90°–180°, 180°–270°, 270°–360°)
2
Arvuta teravnurk (referentsnurk): vahe lähimast telgnurgast (180° või 360°)
3
Pane märk vastavalt veerandile, kus algne nurk asub
II veerand (90°–180°): sin α = sin(180°−α) → +
cos α = −cos(180°−α) → −
tan α = −tan(180°−α) → −
III veerand (180°–270°): sin α = −sin(α−180°) → −
tan α = +tan(α−180°) → +
IV veerand (270°–360°): sin α = −sin(360°−α) → −
cos α = +cos(360°−α) → +
näide 1
sin 160°
= sin(180°−160°)
= sin 20° ✓
(II veerand → sin +)
näide 2
cos 250°
= −cos(250°−180°)
= −cos 70° ✓
(III veerand → cos −)
näide 3
tan 130°
= −tan(180°−130°)
= −tan 50° ✓
(II veerand → tan −)
näide 4
cot 315°
= −cot(360°−315°)
= −cot 45° ✓
(IV veerand → cot −)
📋
Taanduvalemid (Ülesanne 2)
⟨ 3 ⟩ Täielik tabel
🔑
Kuldreegel:
• 180°·k ± α (k täisarv) → funktsioon EI muutu (sin jääb sinuks, cos jääb kosinuseks)
• 90°·k ± α (k paaritu) → funktsioon MUUTUB (sin↔cos, tan↔cot)
• Märk sõltub sellest, milline algne funktsioon on vastavas veerandis
| Avaldis |
= (funktsioon) |
Muutub? |
Märgi reegel |
| sin(180°−α) | +sin α | Ei | II veerand, sin + |
| cos(180°−α) | −cos α | Ei | II veerand, cos − |
| tan(180°−α) | −tan α | Ei | II veerand, tan − |
| sin(180°+α) | −sin α | Ei | III veerand, sin − |
| cos(180°+α) | −cos α | Ei | III veerand, cos − |
| tan(180°+α) | +tan α | Ei | III veerand, tan + |
| sin(360°−α) | −sin α | Ei | IV veerand, sin − |
| cos(360°−α) | +cos α | Ei | IV veerand, cos + |
| sin(90°−α) | +cos α | Jah! | I veerand, sin→cos |
| cos(90°−α) | +sin α | Jah! | I veerand, cos→sin |
| sin(90°+α) | +cos α | Jah! | II veerand, sin + |
| cos(90°+α) | −sin α | Jah! | II veerand, cos − |
| tan(90°+α) | −cot α | Jah! | II veerand, tan − |
| sin(−α) | −sin α | Ei | Paaritu funktsioon |
| cos(−α) | +cos α | Ei | Paaris funktsioon |
| tan(−α) | −tan α | Ei | Paaritu funktsioon |
Näide – Ülesanne 2.2: sin(180°+x) : tan(180°+x)
sin(180°+x) = −sin x
tan(180°+x) = +tan x = sin x / cos x
(−sin x) : (sin x / cos x)
= (−sin x) · (cos x / sin x)
= −cos x
⭐
Täppisväärtuste tabel (Ülesanne 3)
⟨ 4 ⟩ Põhilised väärtused
| Nurk |
sin |
cos |
tan |
cot |
| 0° |
0 | 1 | 0 | — |
| 30° |
½ | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° |
√2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° |
√3/2 | ½ | √3 | √3/3 |
| 90° |
1 | 0 | — | 0 |
| 120° |
√3/2 | −½ | −√3 | −√3/3 |
| 135° |
√2/2 | −√2/2 | −1 | −1 |
| 150° |
½ | −√3/2 | −√3/3 | −√3 |
| 180° |
0 | −1 | 0 | — |
💡
Nurke üle 360° vähenda: α mod 360° (nt sin 390° = sin 30°, sest 390°−360°=30°)
Näide – Ülesanne 3.1: tan135°·tan315°−cos0°+sin150°·cos120°
tan 135° = −tan 45° = −1
tan 315° = −tan 45° = −1
cos 0° = 1
sin 150° = sin 30° = ½
cos 120° = −cos 60° = −½
= (−1)·(−1) − 1 + ½·(−½)
= 1 − 1 − ¼
= −¼
🔢
Põhiidentiteedid & arvuta (Ülesanne 4)
⟨ 5 ⟩ Pythagorase identiteet
sin²α + cos²α = 1
cos α = ±√(1 − sin²α)
Märk veerandist!
tan α = sin α / cos α
cot α = cos α / sin α
Ülesanne 4.1 – sin α = 5/13, α on II veerandis → leia cos α ja tan α
cos²α = 1 − sin²α = 1 − (5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169
cos α = ±12/13
II veerand → cos α < 0 → cos α = −12/13
tan α = sin α / cos α = (5/13) / (−12/13) = −5/12
cos α = −12/13
tan α = −5/12
Ülesanne 4.2 – tan α = −8/13, α on IV veerandis → leia sin α ja cos α
Kasuta: 1 + tan²α = 1/cos²α
1 + (−8/13)² = 1/cos²α
1 + 64/169 = 233/169 = 1/cos²α
cos²α = 169/233
IV veerand → cos α > 0 → cos α = 13/√233
sin α = tan α · cos α = (−8/13) · (13/√233) = −8/√233
sin α = −8/√233
cos α = 13/√233
🔁
Kraadid ↔ Radiaanid (Ülesanne 5)
⟨ 6 ⟩ Põhivalemid
Kraadid → radiaanid
rad = kraad × π/180
Radiaanid → kraadid
kraad = rad × 180/π
Lahendused ülesandele 5
| Kraadid | Radiaanid (täpne) |
Radiaanid | Kraadid |
| 50° | 5π/18 |
2,2 rad | ≈ 126,1° |
| 335° | 67π/36 |
0,75π rad | 135° |
| 220° | 11π/9 |
3π rad | 540° |
| 120° | 2π/3 |
1,25π rad | 225° |
| 90° | π/2 |
0,74 rad | ≈ 42,4° |
| 150° | 5π/6 |
2,5π rad | 450° |
| 75° | 5π/12 |
0,25π rad | 45° |
| 290° | 29π/18 |
1,5π rad | 270° |
💡
Trikk π-ga: Kui radiaanides on "kπ rad", lihtsalt korruta k × 180°. Nt 1,5π × 180° = 270°
📏
Kaare pikkus & sektori pindala (Ülesanne 6)
⟨ 7 ⟩ Põhivalemid
Kaare pikkus
l = r · α
l – kaare pikkus
r – raadius
α – nurk radiaanides!
Sektori pindala
S = ½ · r² · α
S – sektori pindala
r – raadius
α – nurk radiaanides!
Lahendused ülesandele 6
1
Kaare pikkus (r=3cm, α=120°)
α = 120° × π/180 = 2π/3 rad
l = 3 · 2π/3 = 2π cm
2
Sektori pindala (r=6cm, α=30°)
α = 30° × π/180 = π/6 rad
S = ½ · 6² · π/6 = ½ · 36 · π/6 = 3π cm²
3
Sektori pindala 15π cm², α=150° → leia r
α = 150° × π/180 = 5π/6 rad
15π = ½ · r² · 5π/6
r² = 15π · 2 · 6 / (5π) = 36
r = 6 cm
4
Kaare pikkus 20π cm, r=15cm → leia nurk
α = l/r = 20π/15 = 4π/3 rad
4π/3 × 180°/π = 240°
5
Sektori pindala 120π cm², α=300° → leia r
α = 300° × π/180 = 5π/3 rad
120π = ½ · r² · 5π/3
r² = 120π · 2 · 3 / (5π) = 144
r = 12 cm
🔄
Taanduvalemid
180°·k → f ei muutu
90°·k (paaritu) → f muutub
Märk veerandist
⭐
Täppisväärtused
Nurke üle 360° vähenda
Negat. nurgad: f(−α)
Tabel meelde!
🔢
sin²+cos²=1
Leia puuduv funktsioon
Märk alati veerandist
tan = sin/cos
🔁
Kraadid↔Radiaanid
° → rad: × π/180
rad → °: × 180/π
π rad = 180°
📏
Kaare & sektor
l = r·α
S = ½·r²·α
α peab olema rad!
🧭
Veerandid
I: kõik +
II: sin+, III: tan+
IV: cos+
🚀
Head õppimist!
Harjuta sammude kaupa – iga ülesande tüüp on õpitav! 💪