Mõtlemine — küsimused, mida endalt küsida
Kirjutamine — mida paberile paned
Valem — mis valem ja miks
1
Üldine mõtteviis — iga tekstülesande jaoks
5 küsimust, mida alati küsida
Mida ülesanne küsib?
Loe viimane lause. See ongi vastus, mida otsid → need saavad tundmatuteks.
Kirjuta: "Oletame, et [otsitav] on [täht]."
Mis on teada?
Loe kõik arvud ja suhted ülesandest välja. Iga arv/suhe = üks tingimus = üks võrrand tulevikus.
Mis seob teadaolevat tundmatutega?
Siin on valem. Kiirus? → kiirus = teekond ÷ aeg. Töö? → töö = kiirus × aeg. Arv? → 10a + b.
Kirjuta valem lahti tundmatute kaudu.
Mitu tundmatut on? Mitu võrrandit vajan?
2 tundmatut → vajad 2 võrrandit.
Kui sul on rohkem tingimusi kui tundmatuid, vali lihtsaimad 2.
Kas vastus on mõistlik?
Negatiivsed ajad, kiirused, pikkused ei sobi. Kontrolli alati algse tekstiga, mitte võrrandiga.
2
Kiirus · Aeg · Teekond (Ülesanne 3)
Valem, mõtteviis ja täielik lahenduskäik
"Tartust Tallinna on ligikaudu 180 km. Ühel ajal startisid Tartust sõiduauto ja buss. Sõiduauto keskmine kiirus oli 5 km/h suurem kui bussil ning sõiduauto jõudis Tallinna 9 minutit varem kui buss. Kui suure keskmise kiirusega liikus kumbki sõiduk?"
Samm 1 — Tundmatute nimetamine
Ülesanne küsib: "kui suure kiirusega?"
Seega tundmatuteks on kiirused.
Kas ma vajan kahte tundmatut? Jah — buss ja auto. Aga kuna auto on bussist 5 võrra kiirem, saan ühe tundmatuga hakkama.
Oletame, et bussi kiirus on
v km/h.
Siis auto kiirus on v + 5 km/h.
Samm 2 — Võrrandi koostamine (ajavahe)
Tingimus: auto jõuab 9 minutit varem.
9 minutit = 9/60 tundi = 3/20 tundi.
Aeg = teekond ÷ kiirus.
Bussi aeg = 180/v
Auto aeg = 180/(v+5)
Kui buss sõidab kauem, siis bussi aeg miinus auto aeg = 9 min.
Kuna auto jõuab 9 min
ehk 3/20 tundi varem,
siis bussi sõiduaeg on
auto sõiduajast 3/20 h
pikem:
180/v − 180/(v+5)
= 3/20
Samm 3 — Algebraline lahendamine
Murdudest lahtisaamiseks korrutame mõlemad pooled läbi kõigi nimetajate korrutisega.
Nimetajad on: v, (v+5) ja 20.
Korrutame läbi 20·v·(v+5).
Saame ruutvõrrandi → lahutan (otsin kahte arvu).
Korrutame läbi 20·v·(v+5):
20·180·(v+5) − 20·180·v
= 3·v·(v+5)
3600v + 18000 − 3600v
= 3v² + 15v
18000 = 3v² + 15v |÷3
v² + 5v − 6000 = 0
Samm 4 — Ruutvõrrandi lahutamine
v² + 5v − 6000 = 0
Lahutatav? Otsin kahte arvu:
• korrutis = −6000
• summa = +5
Proovime: 80 ja −75
80 · (−75) = −6000 ✓
80 + (−75) = 5 ✓
→ Lahutub!
Otsime arve, mille
korrutis on −6000
ja summa on +5:
80 ja −75 sobivad.
(v + 80)(v − 75) = 0
v = −80 ← ei sobi,
kiirus ei saa olla
negatiivne.
v = 75
✅ Kontroll
Bussi kiirus = 75 km/h → aeg = 180/75 = 2,4 h = 144 min
Auto kiirus = 80 km/h → aeg = 180/80 = 2,25 h = 135 min
Kiiruste vahe: 80 − 75 = 5 km/h ✓
Ajavahe: 144 − 135 = 9 minutit ✓
Vastus
Bussi keskmine kiirus on 75 km/h ja auto keskmine kiirus on 80 km/h.
3
Töö · Aeg (Ülesanne 4)
Valem, mõtteviis ja täielik lahenduskäik
"Kaks naist rohiksid põllu koos töötades ära 6 tunniga. Sama põllu rohimiseks üksi kuluks esimesel töölisel 5 tundi rohkem kui teisel töölisel. Mitu tundi kuluks põllu rohimiseks kummalgi töölisel üksi töötades?"
Samm 1 — Tundmatute nimetamine
Küsitakse: "mitu tundi kummalgi üksi?"
Tundmatu = aeg.
Kaks töölist → kaks aega. Aga kuna esimene võtab 5 tundi rohkem, saan kasutada ühte tundmatut T.
Oletame, et teine töölinen
teeb töö üksi T tunniga.
Siis esimene töölinen
teeb töö üksi T+5
tunniga.
Samm 2 — Võrrandi koostamine
Tingimus: koos teevad valmis 6 tunniga.
Ühe tunniga:
• teine teeb 1/T osa
• esimene teeb 1/(T+5) osa
Koos ühe tunniga: 1/T + 1/(T+5)
Koos 6 tunniga = 1 terve töö:
→ 1/T + 1/(T+5) = 1/6
Kuna koos tehakse töö
valmis 6 tunniga, siis
tunnis tehakse 1/6
tööst:
1/T + 1/(T+5) = 1/6
Samm 3 — Lahendamine
Murdudest lahtisaamiseks korrutame läbi nimetajate korrutisega.
Nimetajad on: T, (T+5), 6
Korrutame läbi 6T(T+5).
Saan ruutvõrrandi → kontrollin, kas lahutatav.
Korrutame läbi 6T(T+5):
6(T+5) + 6T = T(T+5)
6T+30+6T = T²+5T
12T+30 = T²+5T
T²−7T−30 = 0
Otsime: korrutis −30,
summa −7:
−10 ja +3: −30 ✓, −7 ✓
(T−10)(T+3) = 0
T=10 või T=−3
T=−3 ei sobi (aeg<0)
T = 10 tundi
✅ Kontroll
Teine töölinen: 10 tundi → tunnis teeb 1/10
Esimene töölinen: 15 tundi → tunnis teeb 1/15
Koos: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 → valmis 6 tunniga ✓
Vahe: 15 − 10 = 5 tundi ✓
Vastus
Esimesel töölisel kulub põllu rohimiseks üksi 15 tundi ja teisel töölisel 10 tundi.
4
Kahekohaline arv (Ülesanne 5)
Valem, mõtteviis ja täielik lahenduskäik
"Kahekohalise arvu ristsumma on 10. Kui selles arvus numbrid vahetada, siis saame arvu, mis on esialgsest arvust 54 võrra suurem. Leia esialgne arv."
Samm 1 — Tundmatute nimetamine
Otsin kahekohaline arv → arv koosneb kahest numbrist.
Nimetan numbrid, mitte arvu ise.
Kasutan valemit: arv = 10a + b
Oletame, et otsitava arvu
kümnete number on a
ja ühtede number on b.
Esialgne arv = 10a + b
Pööratud arv = 10b + a
Samm 2 — Kaks võrrandit tekstist
Tekstis on kaks tingimust:
① "ristsumma on 10"
→ numbrite summa = 10
② "pööratud arv on 54 suurem"
→ pööratud arv = esialgne + 54
2 tundmatut, 2 tingimust → saan süsteemi koostada.
Tingimus 1 — ristsumma:
Kuna a+b = 10, siis:
a + b = 10 (I)
Tingimus 2 — pööramine:
Kuna pööratud arv on
54 võrra suurem:
10b+a = 10a+b+54
9b−9a = 54 |÷9
b − a = 6 (II)
Samm 3 — Süsteemi lahendamine
Süsteem:
{ a + b = 10
{ b − a = 6
Liitmismeetod — liidan võrrandid:
a ja −a kustuvad ära.
Liidan (I) ja (II):
(a+b) + (b−a) = 10+6
2b = 16
b = 8
Asendan b=8 võrrandisse (I):
a + 8 = 10
a = 2
Esialgne arv = 10·2+8 = 28
✅ Kontroll
Esialgne arv = 28
Ristsumma: 2 + 8 = 10 ✓
Pööratud arv: 82 | 82 − 28 = 54 ✓
Vastus
Otsitav kahekohaline arv on 28.
5
Kiire meelespea — valemid
Mis valem, mis ülesande tüübi juures
Kiirus /
aeg /
teekond
v = s/t t = s/v s = v·t
Tundmatu = kiirus. Kirjuta mõlema sõiduki aeg kiiruse kaudu. Ajavahe → võrrand.
Töö
koos / eraldi
1/a + 1/b = 1/t
1/a = ühe isiku töö tunnis. Liida mõlema töökiirused, võrdsusta 1/koos.
Kahekohaline
arv
arv = 10a+b pööratud = 10b+a ristsumma = a+b
Nimeta numbrid (mitte arv ise). Koosta tingimused numbrite kaudu.
Ruutvõrrandi
lahutamine
Otsi kahte arvu: korrutis = vabaliige, summa = x-i kordaja.
x² + px + q = 0 → (x+n)(x+m) = 0, kus nm=q ja n+m=p
Kui ei lahuta → kasuta diskriminanti: D = p² − 4q
Iga ülesanne on sama struktuuriga.
Nimeta → põhjenda → kirjuta → lahenda → kontrolli → vastus lausena.