📚 Gümnaasiumi lai matemaatika · III osa

Arvjadad &
Aritmeetiline jada

Kaldmäe · Kontson · Matiisen · Pais — Funktsioonid. Arvjadad. Eksponent- ja logaritmfunktsioon

📐 Jada mõiste
📈 Kasvav & kahanev jada
🔁 Aritmeetiline jada
🔢 Üldliige aₙ
Σ Summa valem
1

Jada mõiste ja põhimõisted

📖 Definitsioon

Jada on arvude loend kindlas järjestuses. Iga jada arvu nimetatakse jada liikmeks (elemendiks). Liikmed on nummerdatud: esimene, teine, kolmas jne.

Jada tähistatakse üldiselt nii: (aₙ) ehk a₁, a₂, a₃, …, aₙ, …

✏️ Tähistus

a₁ — jada esimene liige
a₂ — jada teine liige
aₙ — jada n-es liige (üldliige)
aₙ₊₁ — liige, mis järgneb aₙ-le

💡 Näide

Jada: 2, 5, 8, 11, 14, …

a₁ = 2, a₂ = 5, a₃ = 8
Iga järgmine liige on 3 võrra suurem eelmisest.

🔵 Jada liikmete visualiseerimine

2
a₁
+3
5
a₂
+3
8
a₃
+3
11
a₄
+3
14
a₅
…

Iga kahe naaberliikmete vaheline nihe on konstantne: +3

2

Kasvav, kahanev ja konstantne jada

📈

Kasvav jada

Iga järgmine liige on suurem eelmisest.

aₙ₊₁ > aₙ

Näide: 1, 3, 5, 7, 9, …

📉

Kahanev jada

Iga järgmine liige on väiksem eelmisest.

aₙ₊₁ < aₙ

Näide: 10, 7, 4, 1, −2, …

➡️

Konstantne jada

Kõik liikmed on võrdsed ehk ühesuurused.

aₙ₊₁ = aₙ

Näide: 5, 5, 5, 5, 5, …

🔎 Kuidas otsustada, mis liiki jada on?

Vaata naaberliikme vahet: aₙ₊₁ − aₙ

📈 Kui vahe on positiivne → kasvav jada
📉 Kui vahe on negatiivne → kahanev jada
➡️ Kui vahe on null → konstantne jada
3

Jada üldliige aₙ

📖 Definitsioon

Jada üldliige ehk aₙ on valem, mis annab jada iga liikme väärtuse tema järjekorranumbri n kaudu. Sisestades n = 1, 2, 3, … saad vastavad jada liikmed.

💡

Mida üldliige teeb?

Üldliige on nagu "retsept" — sisesta jadanumber n ja saad vastava jada liikme. Sa ei pea kõiki eelmisi liikmeid arvutama.

📝 Näide: leia jada liikmed üldliikme aₙ = 2n + 1 järgi
  • 1
    n = 1: a₁ = 2·1 + 1 = 3
  • 2
    n = 2: a₂ = 2·2 + 1 = 5
  • 3
    n = 3: a₃ = 2·3 + 1 = 7
  • 4
    n = 10: a₁₀ = 2·10 + 1 = 21
✅ Jada: 3, 5, 7, 9, 11, …, 21, … — kasvav jada (vahe igal korral +2)
4

Aritmeetiline jada

📖 Definitsioon

Aritmeetiline jada on jada, kus iga järgmine liige saadakse eelmisele konstantse arvu liitmisega. Seda konstanti nimetatakse aritmeetilise jada diferentsiks ja tähistatakse d-ga.

Aritmeetilise jada tunnustingimus
aₙ₊₁ = aₙ + d
ehk: aₙ₊₁ − aₙ = d (kõigil n-del sama)
✅ Nõuanne: kuidas leida d?

d = a₂ − a₁ = a₃ − a₂ = aₙ₊₁ − aₙ

Lahuta igast liikmest eelmine — kui tulemus on alati sama, on tegu aritmeetilise jadaga!

📊 Näited

1, 4, 7, 10, 13 → d = +3 (kasvav)

20, 15, 10, 5, 0 → d = −5 (kahanev)

7, 7, 7, 7, 7 → d = 0 (konstantne)

⚠️

Oluline meeles pidada!

Aritmeetiline jada võib olla kasvav (d > 0), kahanev (d < 0) või konstantne (d = 0). Konstantne jada on aritmeetilise jada erijuht.

5

Aritmeetilise jada üldliige

Aritmeetilises jadas kasvab iga liige diferentsi d võrra. Kuni n-nda liikmeni on lisatud d-d kokku (n−1) korda:

🔍 Valemi tuletus (mõtlemiseks)
a₁ = a₁
esimene liige — algpunkt
a₂ = a₁ + d
lisame d 1 kord
a₃ = a₁ + d + d = a₁ + 2d
lisame d 2 korda
a₄ = a₁ + 3d
lisame d 3 korda
aₙ = a₁ + (n−1)·d
lisame d kokku (n−1) korda ✅
⭐ Aritmeetilise jada üldliige
aₙ = a₁ + (n − 1) · d
a₁ — esimene liige  |  d — diferents  |  n — liikme järjekorranumber
📝 Näide 1 — leia 12. liige

Jada: 3, 7, 11, 15, …  Leia a₁₂.

  • 1
    Tuvastan: a₁ = 3, d = 7 − 3 = 4
  • 2
    Kirjutan valemi: aₙ = a₁ + (n−1)·d = 3 + (n−1)·4
  • 3
    Asendame n = 12: a₁₂ = 3 + (12−1)·4 = 3 + 11·4 = 3 + 44 = 47
✅ Vastus: a₁₂ = 47
📝 Näide 2 — leia diferents ja puuduv liige

Aritmeetilises jadas a₁ = 5 ja a₆ = 25. Leia diferents d ja a₁₀.

  • 1
    Kasutan üldliiget: a₆ = a₁ + 5d → 25 = 5 + 5d
  • 2
    Lahendan: 5d = 20 → d = 4
  • 3
    Leian a₁₀: a₁₀ = 5 + 9·4 = 5 + 36 = 41
✅ Vastus: d = 4, a₁₀ = 41
6

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa

Aritmeetilise jada n esimese liikme summa tähistatakse Sₙ:

🔢 Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ
💡 Kuidas valem tuletati? (Gaussi trikk)

Kirjutame summa kaks korda — üks otse, teine tagurpidi:

Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ
otse
Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁
tagurpidi
2Sₙ = (a₁+aₙ) + (a₁+aₙ) + … n korda
liidame rida-realt
2Sₙ = n · (a₁ + aₙ)
iga paar annab sama summa
Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2
jagame 2-ga ✅
⭐ Summa valem — põhikuju
Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2
n — liikmete arv  |  a₁ — esimene liige  |  aₙ — viimane liige (n-es liige)
🔄

Teine kuju — kui viimast liiget pole antud

Asendame aₙ = a₁ + (n−1)d esimesse valemisse:

⭐ Summa valem — diferentsiga
Sₙ = n · (2a₁ + (n−1)·d) / 2
Kasulik, kui teada on a₁, d ja n (viimast liiget ei pea eraldi leidma)
📝 Näide 1 — summa kui esimene ja viimane liige on teada

Leia aritmeetilise jada 3, 7, 11, …, 47 liikmete summa.

  • 1
    Tuvastan: a₁ = 3, aₙ = 47, d = 4
  • 2
    Leian n: 47 = 3 + (n−1)·4 → 44 = (n−1)·4 → n−1 = 11 → n = 12
  • 3
    Arvutan: S₁₂ = 12·(3 + 47)/2 = 12·50/2 = 12·25 = 300
✅ Vastus: S₁₂ = 300
📝 Näide 2 — diferentsiga valem

Aritmeetiline jada: a₁ = 5, d = 3. Leia 10 esimese liikme summa S₁₀.

  • 1
    Kasutan teist valemit: S₁₀ = 10·(2·5 + (10−1)·3) / 2
  • 2
    Arvutan sulud: 2·5 + 9·3 = 10 + 27 = 37
  • 3
    Arvutan: S₁₀ = 10·37/2 = 370/2 = 185
✅ Vastus: S₁₀ = 185
📝 Näide 3 — esimeste naturaalarvude summa

Leia summeerida 1 + 2 + 3 + … + 100

  • 1
    See on aritmeetiline jada: a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100
  • 2
    Arvutan: S₁₀₀ = 100·(1 + 100)/2 = 100·101/2 = 5050
✅ Vastus: S₁₀₀ = 5050   (Gaussi klassikaline tulemus! 🏆)
7

Valemite meelespea — kogu teema kokkuvõte

Mõiste Valem / Tingimus Selgitus
Kasvav jada aₙ₊₁ > aₙ Iga järgmine liige on suurem
Kahanev jada aₙ₊₁ < aₙ Iga järgmine liige on väiksem
Konstantne jada aₙ₊₁ = aₙ (d = 0) Kõik liikmed võrdsed
Arit. jada tunnus aₙ₊₁ − aₙ = d = konst. Naaberliikme vahe on alati sama
Arit. jada üldliige aₙ = a₁ + (n−1)·d Leia suvaline liige otse
Summa valem I Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2 Kasutatakse kui aₙ on teada
Summa valem II Sₙ = n·(2a₁+(n−1)d)/2 Kasutatakse kui d on teada
⭐

Kiire kokkuvõte — mida meeles pidada

📐

Üldliige

aₙ = a₁ + (n−1)·d
Iga liikme leidmiseks.

🔄

Diferents d

d = aₙ₊₁ − aₙ
Alati üks ja sama vahe.

Σ

Summa

Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2
Esimene + viimane, jagatud 2-ga, korda n.

📈

d > 0

Diferents positiivne = kasvav aritmeetiline jada.

📉

d < 0

Diferents negatiivne = kahanev aritmeetiline jada.

➡️

d = 0

Diferents null = konstantne jada (erijuht).

✏️

Harjutusülesanded

⭐ Lihtne
1. Kas järgmised jadad on aritmeetilised? Kui jah, leia diferentes d.
a) 4, 9, 14, 19, 24, …   b) 3, 6, 12, 24, …   c) 10, 7, 4, 1, −2, …
▼
Lahendus
a) 9−4 = 5, 14−9 = 5, 19−14 = 5 → Jah, aritmeetiline, d = 5 (kasvav)
b) 6−3 = 3, 12−6 = 6 → vahed ei ole võrdsed → Ei, ei ole aritmeetiline (see on geomeetriline jada)
c) 7−10 = −3, 4−7 = −3, 1−4 = −3 → Jah, aritmeetiline, d = −3 (kahanev)
⭐ Lihtne
2. Aritmeetilises jadas a₁ = 6 ja d = 4. Leia a₅ ja a₁₅.
▼
Lahendus
a₅ = 6 + (5−1)·4 = 6 + 16 = 22
a₁₅ = 6 + (15−1)·4 = 6 + 56 = 62
⭐ Lihtne
3. Aritmeetilise jada esimesed liikmed on 2, 5, 8, 11, … Leia summa S₈.
▼
Lahendus
d = 3, a₁ = 2
a₈ = 2 + 7·3 = 23
S₈ = 8·(2 + 23)/2 = 8·25/2 = 100
🌟 Keskmine
4. Aritmeetilises jadas a₃ = 11 ja a₇ = 27. Leia a₁, d ja a₂₀.
▼
Lahendus
a₇ − a₃ = (a₁+6d) − (a₁+2d) = 4d = 27 − 11 = 16
d = 4
a₁ = a₃ − 2d = 11 − 8 = 3
a₂₀ = 3 + 19·4 = 3 + 76 = 79
🌟 Keskmine
5. Leia 20 esimese paaritu naturaalarvude summa: 1 + 3 + 5 + … + 39.
▼
Lahendus
a₁ = 1, d = 2, n = 20
a₂₀ = 1 + 19·2 = 39 ✓
S₂₀ = 20·(1 + 39)/2 = 20·40/2 = 400

Huvitav fakt: n esimese paaritu arvu summa = n². Siin 20² = 400 ✅
🔥 Raskem
6. Aritmeetilises jadas on liikmete arv 15, esimene liige 4 ja viimane liige 60. Leia kõigi liikmete summa ning diferentes d.
▼
Lahendus
S₁₅ = 15·(4 + 60)/2 = 15·64/2 = 15·32 = 480
a₁₅ = a₁ + 14d → 60 = 4 + 14d → 14d = 56 → d = 4
🔥 Raskem
7. Mitmes liige aritmeetilises jadas 5, 8, 11, … on arv 98?
▼
Lahendus
a₁ = 5, d = 3
aₙ = 5 + (n−1)·3 = 98
(n−1)·3 = 93 → n−1 = 31 → n = 32

Vastus: 98 on selle jada 32. liige.
🎯
Tubli töö, Illimar!
Kaks võtmevalemit on kõige olulisemad: aₙ = a₁ + (n−1)d ja Sₙ = n(a₁+aₙ)/2. Kui need selged, oled teemaga relvastatud! 💪